Los numeros complejos

Para definir los números complejos, primero debemos entender la diferencia entre los números reales e imaginarios. Los números reales(ℝ) son el conjunto de números usados en aritmética, los cuales incluyen los números racionales (ℚ), irracionales (ℝ−ℚ, ℚ’ o ℙ), enteros (ℤ), y naturales(ℕ). Estos son los números que utilizamos comúnmente en matemáticas y la vida diaria, sin embargo, hay otro conjunto de números que no son reales pero son útiles debido a que las matemáticas son una materia abstracta. Este conjunto de números tienen el nombre de números imaginarios (i), estos siguen la regla de que su raíz cuadrada es negativa.

Con la información dada anteriormente, los números complejos son definidos por Laforest (2015):

Un número complejo es cualquier número escrito en la forma: z=a+bi, donde a y b son números reales, a es la parte real de z, b es la parte imaginaria. Podemos redefinirlo como Re(z) e Im(z) sigue: Re(z)=a Im(z)= b (p.15)

Esto significa que los números complejos son la combinación de números reales e imaginarios, podemos decir que R ⊂ C.Para representar números complejos, los matemáticos utilizan planos complejos que son similares a los sistemas cartesianos coordinados pero el eje x representa la parte real mientras que el eje y representa la parte imaginaria.

Lo importante a recordar sobre este tema es la unidad numérica imaginaria definida como i ² = -1, suma compleja definida por:

(a+bi ) + (c+di ) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicación compleja definida por:

(a+bi ) (c+di ) = ac + adi + bci + bdi ²

= (ac - bd) + (ad + bc)i

Y la fórmula de Euler:

e^{i θ} = cosθ + i sinθ

Recordando la expansión de series matemáticas:

e^{i θ} = 1 + i θ + ¹⁄_2!i ²θ² + ¹⁄_3!i ³θ³ + ¹⁄_4!i ⁴θ⁴ + ...

= 1 + i θ - ¹⁄_2!θ² - ¹⁄_3!i θ³ + ¹⁄_4!θ⁴ + ...

= (1 - ¹⁄_2!θ² + ¹⁄_4!θ⁴ - ... ) + i(θ - ¹⁄_3!θ³ + ¹⁄_5!θ⁵ - ... )

= cosθ + i sinθ